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    (文)如图.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是一直角梯形.∠BAD=90°.AD∥BC.AB=BC=a.AD=2a.PA⊥底面ABCD.PD与底面成30°角. (1)若AE⊥PD.E为垂足.求证:BE⊥PD, (2)求异面直线AE与CD所成的角. (1)证明:以A为原点.AB.AD.AP所在直线为坐标轴.建立空间直角坐标系.则 A.B(a.0.0).D(0.2a.0).P(0.0.a).· =(a.0.0)·(0.2a.-a)=0.又· =0. ∴⊥.⊥.∴PD⊥BE. (2)解:∵PA⊥面ABCD.PD与底面成30°角.∴∠PDA=30°. 过E作EF⊥AD.垂足为F.则AE=a.∠EAF=60°.AF=a.EF=a. ∴E(0.a.a). 于是=(0.a.a).又C(a.a.0).D(0.2a.0).∴CD=(-a.a.0). cos〈.〉===. ∴异面直线AE与CD所成的角是arccos. (理)四棱锥P-ABCD中.PC⊥平面ABCD.PC=2.在四边形ABCD中.∠B=∠C=90°.CD∥AB.AB=4.CD=1.点M在PB上.且MB=3PM.PB与平面ABC成30°角. (1)求证:CM∥面PAD, (2)求证:面PAB⊥面PAD, (3)求点C到平面PAD的距离. 分析:本题主要考查空间直角坐标系的概念.空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系.同时考查向量研究空间图形的数学思想方法. 如下图.建立空间直角坐标系O-xyz.C为坐标原点O.突破点在于求出相关的向量所对应的坐标. (1)证明:如图.建立空间直角坐标系. ∵PC⊥平面ABCD. ∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角.即∠PBC=30°. ∵|PC|=2.∴|BC|=2.|PB|=4. 得D.B(0.2.0).A(4.2.0).P. ∵|MB|=3|PM|. ∴|PM|=1.M(0..). =(0..).=.=(3.2.0). 设=x+y(x.y∈R). 则(0..)=x+y(3.2.0)x=且y=. ∴= + . ∴..共面.又∵C平面PAD.故CM∥平面PAD. (2)证明:过B作BE⊥PA.E为垂足. ∵|PB|=|AB|=4.∴E为PA的中点. ∴E(2..1).=(2.-.1). 又∵·=(2.-.1)·(3.2.0)=0. ∴⊥.即BE⊥DA. 而BE⊥PA.∴BE⊥面PAD. ∵BE面PAB.∴面PAB⊥面PAD. (3)解:由BE⊥面PAD知.平面PAD的单位向量n0==(2.-.1). ∴CD=的点C到平面PAD的距离 d=|n0·|=|(2.-.1)·|=. 探究创新 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

    (1)求证：PB⊥DM;

    (2)(理)求CD与平面ADMN所成的角;

    (文)求BD与平面ADMN所成的角.

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
    （1）证明CD⊥AE；
    （2）证明PD⊥平面ABE；
    （3）求二面角A-PD-C的正切值．（本小题理科学生做，文科学生不做）

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
    （1）证明CD⊥AE；
    （2）证明PD⊥平面ABE；
    （3）求二面角A-PD-C的正切值．（本小题理科学生做，文科学生不做）

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
    （1）证明CD⊥AE；
    （2）证明PD⊥平面ABE；
    （3）求二面角A-PD-C的正切值．（本小题理科学生做，文科学生不做）

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    （文科）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，M为PA的中点，N为BC的中点．
    （1）求四棱锥P-ABCD的体积；
    （2）求异面直线PC与MD所成角的大小．

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