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    空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示.这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行.垂直或求其夹角时.往往把它们用同一个基底来表示.从而实现解题的目的. 拓展题例 [例1] 下列命题中不正确的命题个数是 ①若A.B.C.D是空间任意四点.则有++ +=0 ②|a|-|b|=|a+b|是a.b共线的充要条件 ③若a.b共线.则a与b所在直线平行 ④对空间任意点O与不共线的三点A.B.C.若=x+y+z(其中x.y.z∈R).则P.A.B.C四点共面 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:易知只有①是正确的.对于④.若O平面ABC.则..不共面.由空间向量基本定理知.P可为空间任一点.所以P.A.B.C四点不一定共面. 答案:C [例2] A是△BCD所在平面外一点.M.N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4.试求MN的长. 解:连结AM并延长与BC相交于E.连结AN并延长与CD相交于E.则E.F分别是BC及CD的中点. 现在=- = - = (-)== (-)= (- )=(-)=. ∴=||= ||= BD=. 说明:本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转化. [例3] 设A.B.C及A1.B1.C1分别是异面直线l1.l2上的三点.而M.N.P.Q分别是线段AA1.BA1.BB1.CC1的中点.求证:M.N.P.Q四点共面. 证明: = . = . ∴=2.=2. 又∵ = (+). (*) A.B.C及A1.B1.C1分别共线. ∴=λ=2.=ω=2ω. 代入(*)式得= (2λ+2ω)=λ+ω.∴..共面. ∴M.N.P.Q四点共面. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    下列命题是真命题的是（    ）

    ①空间中的任何一个向量都可以用a,b,c表示  ②空间中的任何一个向量都可以用基向量a,b,c表示  ③空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量表示  ④如果向量a,b与任何向量都不能够构成空间的一个基底，则a与b的方向相反.

    A.4个            B.3个            C.2个            D.1个

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    下列命题是真命题的有…（    ）

    ①空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示  ②空间中的任何一个向量都可用基向量a,b,c表示③空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量表示  ④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示

    A.0个           B.1个            C.2个             D.3个

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