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    2．性质通过方程和不等式给出的 在7大数学思想中.人们把“函数方程思想 放在首位.函数与方程本来就是一对孪生兄弟. 函数的解析式 y = f = 0,反之.对二元方程F (x.y).也可把y视作x的函数. 因此.函数不仅可用解析式定义.还可用方程或不等式定义. 这类问题通常是考查的抽象函数有关问题.抽象函数因其没有解析式.其性质以方程给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么.常见的方程表述有 ①的图象关于直线对称． ② 的图象关于点对称． ③是函数的一个周期 ④是函数的一个周期 ⑤是函数的一个周期 ⑥指数函数满足f 对数函数满足f .f ( xy) = y f (x), ⑦正弦函数满足f ±f , ⑧余弦函数满足f g, ⑨正切函数满足f =. [例3]定义在R上的函数的图象关于点对称.且满足. ..则+++--------+= . 分析:由方程知周期.又因为关于对称.通过联系三角函数知此函数还是偶函数.这样问题就简单了. 解:.是的一个周期.又的图象关于点对称...故 . 即是偶函数.... ++=0.故+++--------+==1. [例4]已知定义在R上的奇函数.满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f在区间上有四个不同的根,则 分析:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题． 解:因为定义在R上的奇函数.满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示,那么方程f在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以 答案:-8 解决策略:函数的解析式与函数的方程式在 解题上比优劣.前者最大的优势是求自 变量对应的函数值.而在研究函数的性 质方面.有时还不如方程式简便.所以有关抽象函数的 “方程题型 .往往是函数的“性质题型 .所以在解决一个问题时当看到方程就考虑函数的奇偶性或周期性.当出现不等式就考虑单调性. 【查看更多】

     

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