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    定义1 数列.按顺序给出的一列数.例如1.2.3.-.n.-. 数列分有穷数列和无穷数列两种.数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,-.an或a1, a2, a3,-.an-.其中a1叫做数列的首项.an是关于n的具体表达式.称为数列的通项. 定理1 若Sn表示{an}的前n项和.则S1=a1, 当n>1时.an=Sn-Sn-1. 定义2 等差数列.如果对任意的正整数n.都有an+1-an=d.则{an}称为等差数列.d叫做公差.若三个数a, b, c成等差数列.即2b=a+c.则称b为a和c的等差中项.若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质:1)通项公式an=a1+(n-1)d,2)前n项和公式:Sn=,3)an-am=(n-m)d.其中n, m为正整数,4)若n+m=p+q.则an+am=ap+a­q,5)对任意正整数p, q.恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1),6)若A.B至少有一个不为零.则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn. 定义3 等比数列.若对任意的正整数n.都有.则{an}称为等比数列.q叫做公比. 定理3 等比数列的性质:1)an=a1qn-1,2)前n项和Sn.当q1时.Sn=,当q=1时.Sn=na1,3)如果a, b, c成等比数列.即b2=ac(b0).则b叫做a, c的等比中项,4)若m+n=p+q.则aman=apaq. 定义4 极限.给定数列{an}和实数A.若对任意的>0.存在M.对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|<.则称A为n→+∞时数列{an}的极限.记作 定义5 无穷递缩等比数列.若等比数列{an}的公比q满足|q|<1.则称之为无穷递增等比数列.其前n项和Sn的极限为. 定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n).若:(1)p(n0)成立,(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立.则由可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立. 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n).若:(1)p(n0)成立,(2)当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立.则由可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立. 定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2.设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ.则xn=c1an-1+c2βn-1.其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定,(2)若α=β.则xn=(c1n+c2) αn-1.其中c1, c2的值由x1, x2的值确定. 【查看更多】

     

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