已知是等差数列，其前n项和为S_n，是等比数列，且，.

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明（）.

【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

由，得，，.

由条件，得方程组，解得

所以，，.

（2）证明：（方法一）

由（1）得

     ①

   ②

由②-①得

而

故，

（方法二：数学归纳法）

①  当n=1时，，，故等式成立.

②  假设当n=k时等式成立，即，则当n=k+1时，有：

   

   

即，因此n=k+1时等式也成立

由①和②，可知对任意，成立.

 

已知，（其中）

⑴求及；

⑵试比较与的大小，并说明理由．

【解析】第一问中取，则；                         …………1分

对等式两边求导，得

取，则得到结论

第二问中，要比较与的大小，即比较：与的大小，归纳猜想可得结论当时，；

当时，；

当时，；

猜想：当时，运用数学归纳法证明即可。

解：⑴取，则；                         …………1分

对等式两边求导，得，

取，则。       …………4分

⑵要比较与的大小，即比较：与的大小，

当时，；

当时，；

当时，；                              …………6分

猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，时结论成立，

假设当时结论成立，即，

当时,

而

∴

即时结论也成立，

∴当时，成立。                          …………11分

综上得，当时，；

当时，；

当时， 

 

已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）已知，命题p：关于x的不等式对函数的定义域上的任意恒成立；命题q：指数函数是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

【解析】第一问中，利用由 即

第二问中，，得：

，

第三问中，由在函数的定义域上 的任意，，当且仅当时等号成立。当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以

当命题p为真，命题q为假时；当命题p为假，命题q为真时分为两种情况讨论即可 。

解：（1）由 即

（2），得：

，

（3）由在函数的定义域上 的任意，，当且仅当时等号成立。当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以

当命题p为真，命题q为假时，

当命题p为假，命题q为真时，，

所以

 

设f (x)＝sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)，其中x∈R．

(Ⅰ) 该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

(Ⅱ)若f (θ)＝，其中，求cos(θ＋)的值；

【解析】第一问中，

即变换分为三步，①把函数的图象向右平移，得到函数的图象；

②令所得的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象；

③令所得的图象上各点的横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象；

第二问中因为，所以，则，又 ，,从而

进而得到结论。

(Ⅰ) 解：

即。…………………………………3分

变换的步骤是：

①把函数的图象向右平移，得到函数的图象；

②令所得的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象；

③令所得的图象上各点的横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象；…………………………………3分

(Ⅱ) 解：因为，所以，则，又 ，,从而……2分

(1)当时，；…………2分

(2)当时；