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    (Ⅰ)求证:, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （Ⅰ）求证：；
    （Ⅱ）化简：．

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    （Ⅰ）求证：；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    （Ⅰ）求证：
    sinx
    1-cosx
    =
    1+cosx
    sinx
    ；
    （Ⅱ）化简：
    tan(3π-α)
    sin(π-α)sin(
    3
    2
    π-α)
    +
    sin(2π-α)cos(α-
    7π
    2
    )
    sin(
    3π
    2
    +α)cos(2π+α)
    ．

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    （Ⅰ）求证：
    C
    m
    n
    =
    n
    m
    C
    m-1
    n-1
    ；
    （Ⅱ）利用第（Ⅰ）问的结果证明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
    （Ⅲ）其实我们常借用构造等式，对同一个量算两次的方法来证明组合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
    (1+x)[1-(1+x)n]
    1-(1+x)
    =
    (1+x)n+1-(1+x)
    x
    ；，由左边可求得x2的系数为C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系数为Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．请利用此方法证明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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    （Ⅰ）求证：
    sinx
    1-cosx
    =
    1+cosx
    sinx
    ；
    （Ⅱ）化简：
    tan(3π-α)
    sin(π-α)sin(
    3
    2
    π-α)
    +
    sin(2π-α)cos(α-
    7π
    2
    )
    sin(
    3π
    2
    +α)cos(2π+α)
    ．

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    一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

    D C B B C       D C A C C       A B

    二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

    （13）        （14）        （15）        （16）―1

    三．解答题

    （17）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件．    2分

    记“两数之和为7”为事件A，则事件A中含有6个基本事件（将事件列出更好），

    ∴ P（A）．

    记“两数之和是4的倍数”为事件B，则事件B中含有9个基本事件，

    ∴ P（B）．

        ∵ 事件A与事件B是互斥事件，∴ 所求概率为 ．         8分

        （Ⅱ）记“点（x，y）在圆  的内部”事件C，则事件C中共含有11个基本事件，∴ P（C）=．                                                   12分

    （18）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）∵ ABC―A1B1C1是正棱柱，

    ∴ BB1⊥AC，BP⊥AC．∴ AC ⊥ 平面PBB1．

    又∵M、N分别是AA1、CC1的中点，

    ∴ MN∥AC．∴ MN ⊥ 平面PBB1 ．      4分

    （Ⅱ）∵MN∥AC，∴A C ∥ 平面MNQ．

    QN是△B1CC1的中位线，∴B1C∥QN．∴B1C∥平面MNQ．

    ∴平面AB1 C ∥ 平面MNQ．                                               8分

    （Ⅲ）由题意，△MNP的面积．

    Q点到平面ACC1A1的距离H显然等于△A1B1C1的高的一半，也就是等于BP的一半，

    ∴ ．∴三棱锥 Q ― MNP 的体积．              12分

    （19）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）：

    ．           3分

    依题意，的周期，且，∴ ．∴．

    ∴ ．                                            5分

    ∵ [0，], ∴ ≤≤，∴ ≤≤1，

      ∴ 的最小值为 ，即    ∴ ．

    ∴ ．                                            7分

    （Ⅱ）∵ =2， ∴ ．

    又 ∵ ∠∈（0，）， ∴ ∠＝．                                  9分

    在△ABC中，∵ ，，

    ∴ ，．解得 ．

    又 ∵ 0， ∴ ．                                 12分

    （20）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）对求导得 ．

    依题意有 ，且 ．∴ ，且 ．

    解得 ． ∴ ．                             6分

    （Ⅱ）由上问知，令，得 ．

    显然，当  或  时，；当  时，

    ．∴ 函数在和上是单调递增函数，在上是单调递减函数．

    ∴当时取极大值，极大值是．

    当时取极小值，极小值是．   12分

    （21）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）∵ ，

    ∴．

    设O关于直线 的

    对称点为的横坐标为 ．

    又易知直线  解得线段的中点坐标

    为（1，－3）．∴．

    ∴ 椭圆方程为 ．                                           5分

    （Ⅱ）显然直线AN存在斜率，设直线AN的方程为 ，代入 并整理得：． 

    设点，，则．

    由韦达定理得 ，．                       8分

    ∵ 直线ME方程为 ，令，得直线ME与x轴的交点

    的横坐标 ．

    将，代入，并整理得 ．   10分

    再将韦达定理的结果代入，并整理可得．

    ∴ 直线ME与轴相交于定点（，0）．                                  12分

    （22）（本小题满分14分）

    证明：（Ⅰ）∵ ， ∴ ．

    显然 ， ∴ ．                                       5分

    ∴ ，，……，，

    将这个等式相加，得 ，∴ ．          7分

    （Ⅱ）∵ ，∴ ．                     9分

    ∴ ．即 ．                        11分

    ∴ ，即

    ．                                                14分

     

     

     

     


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