（15分） 如图，已知点P在圆柱OO₁的底面⊙O上，AB、A₁B₁分别为⊙O、⊙O₁的直径，且A₁A⊥平面PAB.

(1)求证：BP⊥A₁P；

(2)若圆柱OO₁的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A₁－APB的体积．

(3)在AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A₁B所成角的余弦值为 ？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

（15分） 如图，已知点P在圆柱OO₁的底面⊙O上，AB、A₁B₁分别为⊙O、⊙O₁的直径，且A₁A⊥平面PAB.
(1)求证：BP⊥A₁P；
(2)若圆柱OO₁的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A₁－APB的体积．
(3)在AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A₁B所成角的余弦值为 ？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

(本小题满分12分)

如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足＝λ(λ∈R).

(1)证明：PN⊥AM；

(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；

(3)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置.

 (本小题满分12分)

如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足＝λ(λ∈R).

(1)证明：PN⊥AM；

(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；

(3)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置.