题目列表(包括答案和解析)
(12分)如图，正四棱锥P
ABCD的底面边长与侧棱长都是2，点O为底面ABCD的中心，M为PC的中点．
(Ⅰ)求异面直线BM和AD所成角的大小；
(Ⅱ)求二面角MPBD的余弦值．
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D
二、填空题(每小题4分，共24分)
l 1．192 12．286 13．
14．
15．
三、解答题(本大题共6小题，共76分)
17．(本题12分)
解：（Ⅰ）
………………………………（2分）
…………（4分）
…………………………………(6分)
(Ⅱ)
．
……………(8分)
由已知条件
根据正弦定理，得
…………………（10分）
……………………（12分）
18．(本题12分)
解：(Ⅰ)在7人中选出3人，总的结果数是
种
………………(2分)
记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A，则A包含两种情形：
①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是
种，
②被选中的是3名男生的结果数是
种，
………………(4分)
至多选中1名女生的概率为
． ……………(6分)
(Ⅱ)由题意知随机变量
可能的取值为：0，1，2，3，则有
……………………（8分）
的分布列
0
1
2
3
P
……………（10分）
的数学期望
…
……(12分)
19.(本题12分)
解：(Ⅰ)连接
，以
所在的直线为
轴，
轴，
轴
建立如图所示的空间直角坐标系． …………………………………（2分)
正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2，
．
．
为
的中点．
…………（4分）
．
即异面直线
和
所成的角为
………(6分)
(Ⅱ)
．
是平面
的一个法向量． ……………………………（8分）
由（Ⅰ）得
．
设平面
的一个法向量为
，
则由
，得
．
，不妨设
，
得平面的一个法向量为
．
………………（10分）
．
二面角
小于
，
二面角的余弦值为
．
………………（12分）
20.(本题12分)
解：(Ⅰ)由已知得
，又
，
即
． …………………………（2分）
，公差
．
由
，得 …………………………（4分）
即
．解得
或
(舍去)．
．
…………………………（6分）
(Ⅱ)由
得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差数列．
则
………………………(11分)
……………………(12分)
21．(本题14分)
解：(Ⅰ)依题意得
．
………………………（2分）
把（1，3）代入．
解得
．
椭圆的方程为
．
………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，设
，如图所示
点在椭圆上，
． ①
点异于顶点
、
，
．
由
、、三点共线，可得
从而
…………………………（7分）
② …………（8分）
将①式代入②式化简得
…………（10分）
…………（12分）
于是
为锐角，
为钝角．
点B在以MN为直径的圆内． ……………(14分)
22.（本题14分)
解：（Ⅰ）
，
令
，得
或
．
………………（2分）
当
时，
在
上单调递
当
时，
在
上单调递减，
而
，
当
时，
的值域是
． ……………（4分）
(Ⅱ)设函数
在
上的值域是A，
若对任意
．总存在
1,使
，
．
……………（6分）
．
①当
时，
，
函数在
上单调递减．
，
当时，不满足
； ……………………(8分)
②当
时，
，
令
，得
或
(舍去 ………………(9分)
（i）
时，
的变化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得
． …………………(11分)
(ii)当
时，
函数在上单调递减．
，
当时，不满足．
…………………(13分)
综上可知，实数
的取值范围是
． ……………………（14分）
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