如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

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如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
SA=AB=BC=2a，AD=a．
（Ⅰ）求点C到平面SBD的距离；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

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如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且∠ADC=arcsin

5

5

，又PA⊥平面ABCD，AD=3AB=3PA=3a，
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离．

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如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：面SAB⊥面SBC；
（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．

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如图，在底面是直角梯形的四棱锥    P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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一、选择题（每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

B

B

A

D

C

D

B

C

A

D

二、填空题（每小题4分，共16分）

13、120； 14、20； 15、；16、2．

三、解答题

17、解：（Ⅰ）由正弦定理得，

即  ……2分

得，因为，所以，得   ……3分，因为，

所以，又为三角形的内角，所以      ……2分

（Ⅱ），由及得 ……2分

，

又，所以当时，取最大值  ……3分

18、解：（Ⅰ）设公差为，由，得，

       ，因为数列{}的各项均为正数，

     所以得  ……3分  又，所以 ……2分

      由，得  ……1分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得……2分

  于是

         ……4分

19、（Ⅰ）如图，连结，因为、

分别是棱、的中点，

所以……2分

因为平面，，不在平面

内，所以平面 ……3分

（Ⅱ）解：因为平面，

所以，因为是直角梯形，

且，所以，又，所以平面，即是三棱锥的高  ……4分  

因为是棱的中点，所以，

于是三棱锥的体积  ……3分

20、解：从5名同学、、、、中选出3名同学的基本事件空间为：

，共含有10个基本事件   ……3分

（Ⅰ）设事件为“同学被选取”，则事件包含6个基本事件，

      事件发生的概率为   ……3分

（Ⅱ）设事件为“同学和同学都被选取”，则事件包含3个基本事件，

      事件发生的概率为    ……3分

（Ⅲ）设事件为“同学和同学中至少有一个被选取”，则事件包含9个基本事件，事件发生的概率为   ……3分

21、解：（Ⅰ）由得  ……2分

由点（，0），（0，）知直线的方程为，

于是可得直线的方程为    ……2分

因此，得，，，

所以椭圆的方程为   ……2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐标依次为（2，0）、，

因为直线经过点，所以，得，

即得直线的方程为  ……2分

因为，所以，即   ……1分

设的坐标为，则

得，即直线的斜率为4    ……2分

又点的坐标为，因此直线的方程为 ……1分

22、解：（Ⅰ），因为在时取得极值，

所以是方程的根，即 ……2分

得，又因为，

所以的取值范围是    ……2分

（Ⅱ）当时，， ，

      因为，当时，，在内单调递减……2分

      当时，，令解得

     或，令，解得，

     于是当时，在内单调递增，

在内单调递减   ……2分

（Ⅲ）因为函数在时有极值，所以有，

消去得，解之得或，又，所以取，

此时  ……2分

因此，，

可得当时取极大值，

当时取极小值  ……2分

如图，方程有三个不相等的实数根，等价于直线与曲线

有三个不同的交点，由图象得  ……2分