3．(2010年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m, 则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.

其中为真命题的是________．

解析：③中若l⊂β，m⊂α，α∥β⇒l∥m或l，m异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①②④

2．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)

解析：②中α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①③④

1．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．

①如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β

②如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n

③如果m⊂α，n⊂β，α∥β且m，n共面，那么m∥n

④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

解析：m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m，n没有公共点．又m，n共面，

所以m∥n.答案：③

6．在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点．

(1)证明；(2)求二面角的大小；(3)求点到平面的距离．

5．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是中点，作交于．

(1)证明平面：

(2)证明平面；

(3)求二面角的大小．

4．平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面上的射影是的中点，与底面成的角，二面角的平面角等于，求此平行六面体的表面积．

3．已知正方形，交于点，若将正方形沿折成的二面角，并给出四个结论：(1)；(2)；(3)为正三角形；(4)，则其中正确命题的序号为　　　　　　　　 ．

2．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围(　　 )

　　 　　　　或

1．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是(　 )

例1．如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，

交于点，(1)求证：；

(2)在任意中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

例2．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．

(1)与是否相互垂直，请证明你的结论；

(2)求二面角的大小；

(3)求证：平面⊥平面．

解：(1)与相互垂直.证明如下：

取的中点，连结，交于点；连结．

∵，∴．又∵平面⊥平面，

平面∩平面，∴⊥平面．

在梯形中，可得，

∴，

即，　 ∴ ．

(2)连结，

由⊥平面，，可得，

∴为二面角的平面角，

设，则在中，

　 ∴二面角为 ．

(3)取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面，

则同“(1)”可得平面．

取的中点，连结，则由，

，得四边形为平行四边形.　 ∴，

∴⊥平面．∴平面⊥平面．

解答二：

取的中点，由侧面⊥底面，

是等边三角形，

　 得⊥底面．

以为原点，以所在直线为轴，

过点与平行的直线为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则在直角梯形中，，

在等边三角形中，．

∴

(1)与相互垂直.证明如下：

∵

∴．

(2)连结，设与相交于点；连结．

由得．

又∵为在平面内的射影，

∴，为二面角的平面角．

在中，．

在中，．

∴二面角为．

(3)取的中点，连结，则的坐标为．

又，，

∴

．

∴

∴⊥平面．　 ∴平面⊥平面．

小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．