2．求二面角的方法是：

①找(或作)平面角，②用射影法: cosθ=；

③用异面直线上两点间距离公式.

1.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化和应用.

[例1] 如下图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

(1)求证：AB⊥BC；

(2)若设二面角S-BC-A为45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小.

证明(1)：作AH⊥SB于H，

　∵平面SAB⊥平面SBC，

　∴AH⊥平面SBC.　 ，又SA⊥平面ABC，　

　∴SA⊥BC.SA∩SB=S，

∴BC⊥平面SAB.　 ∴BC⊥AB.

解(2)：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.

∴平面SAB⊥BC，∠SBA为二面角S-BC-A的平面角.

∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a.作AE⊥SC于E，连结EH.

由(1)知AH⊥平面SBC, ∴AE在面SBC内的射影EH⊥SC，∠AEH为二面角A-SC-B的平面角，

AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，

∴sin∠AEH=，二面角A-SC-B为60°.

[例2] 已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若过面对角线AB₁且与另一面对角线BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一边A₁C₁于点D.

(1)确定D的位置，并证明你的结论；

(2)证明：平面AB₁D⊥平面AA₁D；

(3)若AB∶AA₁=，求平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角的大小.

分析：本题结论不定，是“开放性”的，点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB₁与BC₁这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC₁沿BA平行移动，BC₁取AE₁位置，则平面AB₁E₁一定平行BC₁，问题可以解决.

(1)解：如下图，将正三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成一直平行六面体ABCE-A₁B₁C₁E₁，由AE₁∥BC₁，AE₁平面AB₁E₁，知BC₁∥平面AB₁E₁，故平面AB₁E₁应为所求平面，此时平面AB₁E₁交A₁C₁于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A₁C₁的中点.

(2)证明：连结B₁D，则B₁D⊥A₁C₁;从直三棱柱定义知AA₁⊥底面A₁B₁C₁，

∴AA₁⊥B₁D, 又A₁D∩AA₁=A₁，

∴B₁D⊥平面AA₁D，又B₁D平面AB₁D，

∴平面AB₁D⊥平面AA₁D.

(3)解：因为平面AB₁D∩平面AA₁D=AD，所以过A₁作A₁H⊥AD于点H.作HF⊥AB₁于点F，连结A₁F，从三垂线定理知A₁F⊥AB₁.

故∠A₁FH是二面角A₁-AB₁-D的平面角.

设侧棱AA₁=1，侧棱AB=.

于是AB₁== .

在Rt△AB₁A₁中，A₁F===，

在Rt△AA₁D中，AA₁=1，A₁D=A₁C₁=，

AD== .

　∴A₁H==.

在Rt△A₁FH中，sin∠A₁FH==，∴∠A₁FH=45°.

因此知平面AB₁D与平面AB₁A₁所成角为45⁰或135⁰.

[例3]在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设PA=AB=1，BC=2，求二面角B-PC-D的大小.

解析1.定义法　过D作DE ⊥PC于E，

过E作EF ⊥PC，交BC于F，连接

FD，则 是所求二面角B-PC-D

的平面角.求解二面角B-PC-D的大小，只需解△DEF即可.所求角为

解析2.垂面法　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM ⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC ⊥面AMN.设面AMN交PC于Q，

则为二面角B-PC-D的平面角；

∠MAN为它的补角，在三角形AMN中可解.计算较繁.

解析3.利用三垂线求解把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D.

易证面PEDA ⊥PDC，过E作EF ⊥ PD

于F，显然PF ⊥面PDC，在面PCE内，

过E作EG ⊥PC于G，连接GF，由三

线得GF⊥ PC 即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可.

解析4. 射影面积法。由解析3知，△PFC为△ PEC

在面PDC上的射影，由射影面积公式得 ，所求角为

解析5.在面PDC内，分别过D、B作DE ⊥PC于E，BF ⊥PC于F，连接EF即可.利用平面知识求BF、EF、DE的长度，再利用空间余弦定理求出q 即可.

◆思悟提炼：想一想求二面角都用了哪些方法：

[例4]由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，设ÐASB=a，ÐBSC=b，ÐASC=g，其中a，b，g均为锐角，则平面ASB^平面BSC的充要条件是cosa×cosb=cosg．

证明：必要性．如图(1), 过点A作AD^SB于D.

∵平面ASB^平面BSC, ∴AD^平面BSC．

过D作DE^SC于E，连AE，则AE^SC．

在Rt△ADS中，cosa=；

在Rt△DES中，cosb=；

例3．

在Rt△AES中，cosg=，由此可得

cosa×cosb=×==cosg． 必要性得证．

充分性．如图2，过点A作AA₁^SB于A₁，过点A₁作A₁C₁^SC于C₁.

在Rt△AA₁S中，cosa=；

在Rt△A₁C₁S中，cosb=;

∵cosg=cosa×cosb=×=,

∴SC₁=SA×cosg．

过A作AC₁¢^SC，垂足为C₁¢，在Rt△AC₁¢S中，SC₁¢=SA×cosg．

由此得SC₁¢=SC₁，即C₁¢与C₁重合，故SC^AC₁．

而SC^A₁C₁，且AC₁IA₁C₁=C₁，

∴SC^平面AA₁C₁，∴SC^AA₁．

又∵SB^AA₁，SBISC=S，

∴AA₁^平面BSC，而AA₁Ì平面ASB，

∴平面ASB^平面BSC．充分性得证．

5. 　MD⊥PC或MB⊥PC ;　 6. a

6.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________.

◆答案提示：1-4.CBBB；

5．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.

4.P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是

A.PA=PB=PC　　 B.PA⊥BC，PB⊥AC　 (　 )

C.点P到△ABC三边所在直线距离相等

D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等

3.设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：① l ⊥α; ② l∥β;③α⊥β,若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成正确命题的个数是　　 　　(　 )

A.3　　 B.2　　　 C. 1　　 D. 0

2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是　　　 (　 )　　　　　

1.在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有(　 )

A.平面ABD⊥平面ADC　　　　　

B.平面ABD⊥平面ABC

C.平面ADC⊥平面BCD　　　

　　 D.平面ABC⊥平面BCD