Question

如图1，抛物线y=ax²+bx（a＞0）与双曲线y=

k

x

相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且OB=2

2

，（O为坐标原点）．

（1）求实数k的值；
（2）求实数a，b的值；
（3）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，请直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点A（1，4）代入y=

k

x

，即可求得k的值；
（2）先由点B在双曲线y=

k

x

上，且OB=2

2

，求出点B的坐标，再将A，B两点的坐标代入y=ax²+bx，即可求出a、b的值；
（3）设点E的坐标为（x，y）．先根据点A的坐标及抛物线的对称性求出点C的坐标，根据两点间的距离公式求出OC，OA，AB，OB的长度，再由△EOC∽△AOB，根据相似三角形对应边成比例得出

OE

OA

=

CE

AB

=

OC

OB

，则OE=2

17

，CE=6

5

，据此列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，求得点E的坐标，然后画出图形即可．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

经过点A（1，4），
∴k=1×4=4；

（2）设第三象限内的点B坐标为（t，

4

t

），则t＜0，
∵OB=2

2

，
∴t²+（

4

t

）²=8，
整理得t⁴-8t²+16=0，
解得t=-2，或t=2（舍去）．
∴点B的坐标为（-2，-2）．
∵点A（1，4），B（-2，-2）都在抛物线y=ax²+bx（a＞0）上，
∴

a+b=4 4a-2b=-2

，解得

a=1  b=3

，
即所求实数a，b的值分别为1，3；

（3）设点E的坐标为（x，y）．
∵点A的坐标为（1，4），A、C两点关于直线x=-

3

2

对称，
∴点C的坐标为（-4，4）．
∵△EOC∽△AOB，
∴

OE

OA

=

CE

AB

=

OC

OB

，即

OE

17

=

CE

3 5

=

4 2

2 2

=2，
∴OE=2

17

，CE=6

5

，
∴

x2+y2=68① (x+4)2+(y-4)2=180②

，
将①代入②，化简整理得x=y+10③，
把③代入①，得y²+10y+16=0，
解得y=-2或-8，
当y=-2时，x=-2+10=8；
当y=-8时，x=-8+10=2．
∴点E的坐标是E₁（8，-2）或E₂（2，-8）．
画出图形如下：

点评：本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法确定反比例函数、二次函数的系数，抛物线的对称性，两点间的距离公式，相似三角形的性质，二元二次方程组的解法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及方程思想是解题的关键．