Question

如图，已知平行四边形DEFG与正方形ABCD有一个公共顶点D，G在CB或其延长线上，A在EF所在直线上，又二次函数y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）与x轴的两个交点P、Q的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，正方形ABCD的边长a等于点P，Q间的距离．
（1）求m的取值范围；
（2）求a和四边形DEFG的面积S；
（3）若DEFG的一组邻边长分别等于x₁，x₂，并设

CG

CB

=k，求sin∠E和k．
（（2），（3）的结果都用含m的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）由于x₁，x₂均为正数因此x₁•x₂＞0，由此可求出m的取值范围；
（2）可根据抛物线的解析式求出x₁，x₂的值，即可得出PQ的距离即a的值，求四边形DEFG的面积就要知道底边和高的值，可过A作CD的垂线设垂足为M，那么不难得出△ADM∽△DGC，由此可证得GD•AM的值正好是正方形边长的平方，即平行四边形的面积和正方形的面积相等，由此可求出S的值；
（3）求sin∠E可通过构建直角三角形来解，过D作DN⊥EF于N，那么在直角三角形DEN中，sin∠E=

DN

DE

，而DN可用正方形的面积
除以EF求得，因此∠E的正弦值就等于正方形的面积（即平行四边形的面积）除以EF与DE的积，正方形的面积已经求得，而DE与
EF的积可在（2）也可得出，据此可求出∠E的正弦值，可根据CG和CB的比例关系，用k表示出CG的长，然后在直角三角形CGD中，用勾股定理即可求出k的值．

解答：解：（1）∵二次函数y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）与x轴的两个交点，
P、Q的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，
解得m＜1，
又∵m＞0，
∴0＜m＜1；

（2）令抛物线中y=0，可得0=（m-1）x²-（m-2）x-1，
解得x=1或x=

1

1-m

，
∵0＜m＜1，
∴

1

1-m

＞1，
∴a=

1

1-m

-1=

m

1-m

，
过A作AM⊥GD于M，则有△AMD∽△DCG，
∴

AM

CD

=

AD

DG

，
即AM•GD=a²，
∴S=AM•GD=a²=（

m

1-m

）²=

m2

m2-2m+1

；

（3）过D作DN⊥EF于N，则sin∠E=

DN

DE

，
∵S=EF•DN=a²，
∴DN=

a2

EF

，即sin∠E=

a2

DE•EF

=

( m 1-m )2

1 1-m

=

m2

1-m

，
∵

CG

BC

=k，
∴CG=BC•k=

mk

1-m

，
当DG=1时，在直角三角形CDG中，DG²=DC²+CG²，
即1=(

m

1-m

)2+(

km

1-m

)2，
解得k=

|1-2m|

m

，
当0＜m＜

1

2

时，k=

1-2m

m

，
当

1

2

＜m＜1时，k=

2m-1

m

，
当DG=

1

1-m

时，同理可求得k=

1-m2

m

，
∴k的值为

|1-2m|

m

或

1-m2

m

．

点评：本题考查了平行四边形和正方形的性质、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识．综合性强，难度较大．