Question

如图，已知平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P点作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，设a=PM•PE，b=PN•PF．
（1）请判断a与b的大小关系，并说明理由；
（2）当

BP

PD

=2时，求

S平行四边形PEAM

S△ABD

的值．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC，可求出△PDE∽△PBF，因此PD：PB=PE：PF．同理可在相似三角形△PDN和△PBM中，求得PD：PB=PN：PM，两个比例关系式的等值替换，即可求出PM•PE=PN•FP，即a=b；
（2）根据PM∥AD，可求出△BPM∽△ABD，可得出△PMB和△ABD的面积比；同理可求出△PED和△ABD的面积比．由于四边形AMPE的面积为△ABD、△PMB、△PED的面积差，由此可求出平行四边形PEAM与△ABD的面积比．

解答：解：（1）a=b
理由：∵BC∥AD
∴△PDE∽△PBF
∴

PE

PF

=

PD

PB

∵AB∥CD
∴△PDN∽△PBM
∴

PN

PM

=

PD

PB

∴

PE

PF

=

PN

PM

∴PM•PE=PN•PF
∴a=b；

（2）∵

BP

PD

=2
∴

S△PBF

S△PDE

=

4

1

，
∵MN∥AD，EF∥CD，
∴四边形BFPM是平行四边形
∴△PBF≌△BPM
∴

S△BPM

S△PDE

=

S△PBF

S△PDE

=

4

1

，
∴S_△BPM=4S_△PDE
∵

BP

PD

=2
∴

BP

BD

=

2

3

∴

S△BPM

S△BDA

=

4

9

，
∴S_△BPM=

4

9

S_△BDA，
∵S_△PDE=

1

4

S_△BPM=

1

9

S_△BDA，
∴S_{四边形PEAM}=

4

9

S_△BDA
∴

S平行四边形PEAM

S△ABD

=

4

9

．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识．综合性强，难度较大．