Question

已知关于x的方程 .

（1）求证: 不论m为任何实数, 此方程总有实数根；

（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；

（3）若点P与Q在（2）中抛物线上 (点P、Q不重合), 且y₁=y₂, 求代

数式的值.

Answer 1

解：（1）当m=0时，原方程化为 此时方程有实数根 x = -3.    

当m¹0时，原方程为一元二次方程.

∵³0.

          ∴ 此时方程有两个实数根.       

          综上, 不论m为任何实数时, 方程 总有实数根.

（2）∵令y=0, 则 mx²+(3m+1)x+3=0.

         解得 ，.      

         ∵ 抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，

         ∴.                     

         ∴抛物线的解析式为.     

（3）法一：∵点P与Q在抛物线上,

      ∴.      

      ∵

      ∴.

可得 .         

      即  .      

      ∵ 点P, Q不重合,

      ∴ n¹0.

∴ .        

∴  

          

法二：∵ =(x+2)²-1，

∴ 抛物线的对称轴为直线 x=-2.

∵ 点P与Q在抛物线上, 点P, Q不重合, 且

∴ 点 P, Q关于直线 x=-2对称. 

∴

∴ .          

下同法一.