Question

已知在ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．

⑴写出ABC的面积与BC的长之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；

⑵当BC多长时，ABC的面积最大？最大面积是多少？

⑶当ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

Answer 1

【解析】⑴依题意得：，

解方程得：，∴当ABC面积为48时BC的长为12 或8；

⑵ 由⑴得：，

∴当即BC=10时，ABC的面积最大，最大面积是50；

⑶ABC的周长存在最小的情形，理由如下：

由⑵可知ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10，

过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点，

连接交直线L于点，再连接，

则由对称性得：，

∴，

当点A不在线段上时，则由三角形三边关系可得：

，

当点A在线段上时，即点A与重合，这时，

因此当点A与重合时，ABC的周长最小；

这时由作法可知：，∴，∴，

因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为．