Question

在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6），（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
求：（1）几秒时PQ∥AB；
（2）设△OPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）△OPQ与△OAB能否相似？若能，求出点P的坐标，若不能，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）由两点间的距离公式求得AO=10，然后根据平行线PQ∥AB分线段成比例知

OP

OA

=

OQ

OB

，据此列出关于t的方程，并解方程；
（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．构造平行线PC∥AQ，根据平行线分线段成比例及三角形的面积公式求得关于y与t的函数关系式；
（3）当PQ∥AB时，得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得△OPQ∽△OAB．然后根据相似三角形的性质：对应线段成比例求得点P的坐标．

解答：解：（1）由已知得OA=

82+62

=10，
当PQ∥AB时，

OP

OA

=

OQ

OB

，
则：

t

10

=

16-2t

16

，得：t=

40

9

（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．则

PC

AD

=

OP

OA

，

PC

6

=

t

10

，
∴PC=

3

5

t，y=

1

2

OQ•PC=

1

2

（16-2t）•

3

5

t=-

3

5

t2+

24

5

t；
∴y=-

3

5

t2+

24

5

t；

（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=

40

9

，∴OP=

40

9

，
∵

PC

AD

=

OP

OA

=

OC

OD

（其中AD=6，OA=10，OD=8）即

PC

6

=

40 9

10

=

OC

8

，
∴OC=

32

9

，PC=

8

3

，
∴P点坐标是（

32

9

，

8

3

）．
同理，当OPQ∽△OBA时，OC=

512

105

，PC=

128

35

∴P₂（

512

105

，

128

35

）
P点的坐标是（

32

9

，

8

3

）或（

512

105

，

128

35

）

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例及勾股定理的应用．解答此题的关键是通过作辅助线PC⊥OB，AD⊥OB构造平行线PC∥AQ，然后利用平行线分线段成比例来求出相关线段的长度．