Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OE，OE交AD于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若，求的值；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由角平分线的定义和等腰三角形的性质，得∠EAD=∠ADO，从而得OD∥AE，根据切线的判定定理，即可得到结论；

（2）连接OD，BC交OD于G，由垂径定理得BG=CG，设AC=3k，AB=5k（k≠0），由勾股定理和矩形的性质表示出CE，从而得AE，然后由平行线分线段成比例定理，即可求解．

（1）连接OD，

∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，

∴∠BAD=∠EAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠EAD=∠ADO，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接OD，BC交OD于G，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°．

又∵OD∥AE，

∴∠OGB=∠ACB=90°，

∴OD⊥BC，

∴G为BC的中点，即BG=CG，

又∵，

∴设AC=3k，AB=5k（k≠0），根据勾股定理得：BC=═4k，

∴OB=AB=，BG=BC=2k，

∴OG==，

∴DG=OD﹣OG=﹣=k．

又∵四边形CEDG为矩形，

∴CE=DG=k，

∴AE=AC+CE=3k+k=4k，

∵OD∥AE，

∴ ．