Question

【题目】如图，点A、B、C均在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠ACB=45°，∠AOC=150°．

（1）求证：CD=CB；

（2）⊙O的半径为，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）延长AO交⊙O于E点，连接CE，由题意可求∠E=75°，∠OAC=∠OCA=15°，∠OCD=90°，根据圆的内接四边形对角互补，以及三角形内角和定理可得∠D=∠CBD=75°，即可证CD=CB；
（2）连接OB，过点B作BF⊥AC于点F，由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA=45°，即可求∠AOB=90°，根据勾股定理可求AB的长，AF的长，CF的长，即可求AC的长．

（1）证明：延长AO交⊙O于E点，连接CE

∵AE是直径

∴∠ACE=90°

∵∠ACB=45°

∴∠BCE=135°

∵AO=OC=EO，∠AOC=150°

∴∠OAC=∠OCA=15°，∠OEC=∠OCE=75°

∵四边形ABCE是圆内接四边形

∴∠EAB+∠ECB=180°，∠E+∠ABC=180°

∴∠EAB=45°，∠ABC=105°，

∴∠CAD=30°，∠CBD=75°

∵CD是⊙O切线，

∴∠OCD=90°

∵∠OCA=15°，∠ACB=45°

∴∠CBD=30°

∵∠D+∠CBD+∠BCD=180°

∴∠D=75°

∴∠D=∠CBD

∴CD=CB

（2）连接OB，过点B作BF⊥AC于点F，

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=45°

∴∠AOB=90°

∴AB= =2

∵∠CAD=30°，BF⊥AC

∴BF=1，AF=BF=

∵∠ACB=45°，BF⊥AC

∴∠ACB=∠CBF=45°

∴CF=BF=1

∴AC=+1