Question

【题目】如图所示，在平行四边形中，于，平分交线段于．

（1）如果，求证：；

（2）一般的情况下，如果，试探究线段、与之间的所满足的等量关系(其中，是已知数)．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）nCD=mAF+nBE．

【解析】

（1）延长EA到G，使得 ，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出，求出 ，根据SAA证明 ，推出 ， ，求出 ，推出 即可；

（2）延长EA到G，使得 ，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出 ，推出 ，代入即可求出答案．

（1）过D作DH⊥BC的延长线于H点，并截取HG=AF，连接DG

∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∵于点E

∴

∴

∴

在△ABE和△DGA中

∴

∴

∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

（2）nCD = mAF + nBE.

理由是：延长EA到G，使得，连接DG，

即

因为四边形ABCD是平行四边形

所以AB=CD，，AD=BC，

因为于点E

所以∠AEB=∠AEC=90°

所以∠AEB=∠DAG=90°

所以∠DAG=90°，

即∠AEB=∠GAD=90°

因为

所以

所以∠1=∠2，，

所以∠GFD=90°-∠3

因为DF平分∠ADC

所以∠3=∠4

所以∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3

所以∠GDF=∠GFD

所以DG=GF

因为，AB=CD（已证）

所以nCD=mDG=m

即nCD= mAF + nBE.