Question

16．如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，BC=15cm，AD=13cm，AE=12cm，F，G分别是AB，AC的中点，求四边形DEGF的周长和面积．

Answer 1

分析 首先根据D，E是BC的三等分点，BC=15cm，求出DE的长度是多少；然后根据中位线定理，分别求出FG、DF、GE的长度各是多少，并求出四边形DEGF的周长是多少即可；最后根据FG∥BC，可得四边形DEGF是一个梯形；再根据勾股定理的逆定理，判断出△ADE是直角三角形，AE⊥DE，求出四边形DEGF的高是多少，再根据梯形的面积的求法，求出四边形DEGF的面积是多少即可．

解答 解：如图，

∵D，E是BC的三等分点，BC=15cm，
∴DE=15÷3=5（cm）；
∵F，G分别是AB，AC的中点，
∴FG∥BC，且FG=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}×15=7.5（cm）$；
∵F，D分别是AB，BE的中点，
∴DF∥AE，且DF=$\frac{1}{2}AE$=$\frac{1}{2}×12=6$（cm）；
∵G，E分别是AC，CD的中点，
∴GE∥AD，且GE=$\frac{1}{2}AD$=$\frac{1}{2}×13=6.5（cm）$；
∴四边形DEGF的周长是：
5+7.5+6+6.5=25（cm）；
∵FG∥BC，
∴四边形DEGF是一个梯形；
∵AE²+DE²=12²+5²=169，AD²=13²=169，
∴AE²+DE²=AD²，
∴△ADE是直角三角形，AE⊥DE，
∴四边形DEGF的高是：
EH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}×12=6（cm）$，
∴四边形DEGF的面积是：
（7.5+5）×6÷2
=12.5×6÷2
=37.5（cm²）．
综上，可得四边形DEGF的周长是25cm，面积是37.5${cm}^{{2}^{\;}}$．

点评 （1）此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了直角三角形斜边上中线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
（3）此题还考查了勾股定理的逆定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．