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（1）请观察：25=5²，1225=35²，112225=335²，1122225=3335²…写出表示一般规律的等式，并加以证明．
（2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．
瑞士数学家欧拉曾对26（2）的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．这就是著名的欧拉恒等式．

解：（1）经观察，发现规律：11…1（n-1个）；22…25（n个）；（33…3 5）²（n-1个3），
∴（33…3 5）²=（33…3+2）²=（ $\text{[math]}$ ×99…9+2）²，
=[ $\text{[math]}$ （10n-1）+2]²=（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =11…1+11…1+3
=11…1 22…25（n-1个1，n个2）；

（2）一般地，设m=a²+b²，n=c²+d²，
则mn=（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+b²c²+a²d²=a²c²+b²d²+2abcd+b²c²-2abcd+a²d²=（ac+bd）²+（bc-ad）²或（ac-bd）²+（bc+ad）²．
分析：（1）由题意已知25=5²，1225=35²，112225=335²，1122225=3335²，从中发现规律11…1（n-1个）；22…25（n个）；（33…3 5）²（n-1个3），利用完全平方式的性质进行证明；
（2）由题意可设m=a²+b²，n=c²+d²，求出mn的成绩，从而发现规律．
点评：此题考查乘法公式和完全平方式的形式，要善于观察发现规律，此题难度较大．

练习册系列答案

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

某种植基地对去年瓜果生产基地的甲、乙两种瓜果的生产销售进行了统计，发现去年1至12月每千克甲种瓜果的销售价格y₁（元）与月份x（1≤x≤12，x为整数）之间存在如图所示变化趋势，每千克乙种瓜果销售价格y₂（元）与月份x（1≤x≤12，x为整数）之间的函数关系如下表：

月份x	1	2	3	4	…
销售价格y₂（元）	7.75	7.5	7.25	7	…

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y₂与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，求出y₁与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年每千克甲种瓜果生产成本为2.5元，每千克乙种瓜果生产成本为2元，且去年1至12月甲种瓜果销售量p₁（万千克）与月份x满足关系式p₁=0.2x+1（1≤x≤12，x为整数），去年1至12月乙种瓜果销售量p₂（万千克）与月份x满足关系式p₂=0.4x+0.8（1≤x≤12，x为整数），求去年上半年哪一个月同时出售甲、乙两种瓜果的总利润最大？并求出其最大利润；
（3）预计今年1至5月，受物价上涨因素的影响，该基地甲种瓜果生产成本每千克比去年增加20%，乙种瓜果的生产成本每千克比去年增加1元，而甲种瓜果每千克售价在去年12月份的基础上提高m%，乙种瓜果每千克售价在去年12月份的基础上提高1.2m%，与此同时，每月甲种瓜果的销售量均在去年12月份的基础上减少3m%，每月乙种瓜果的销售量均在去年12月份的基础上减少了2m%，这样，预计今年1至5月销售乙种瓜果获得的总利润比1至5月销售甲种瓜果获得的总利润多40万元，请参考以下数据，估算m的整数值（m≤10）．
（参考数据：32²=1024，33²=1089，34²=1156，35²=1225）

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科目：初中数学 来源： 题型：

某商店今年1-6月份经营A、B两种电子产品，已知A产品每个月的销售数量y（件）与

月份x（1≤x≤6且x为整数）之间的关系如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6
销量y 600 300 200 150 120 100
A产品每个月的售价z（元）与月份x之间的函数关系式为：z=10x；
已知B产品每个月的销售数量m（件）与月份x之间的关系为：m=-2x+62，B产品每个月的售价n（元）与月份x之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，直接写出y与x的函数关系式；
（2）请观察如图所示的变化趋势，求出n与x的函数关系式；
（3）求出此商店1-6月份经营A、B两种电子产品的销售总额w与月份x之间的函数关系式；
（4）今年7月份，商店调整了A、B两种电子产品的价格，A产品价格在6月份基础上增加a%，B产品价格在6月份基础上减少a%，结果7月份A产品的销售数量比6月份减少2a%，B产品的销售数量比6月份增加2a%．若调整价格后7月份的销售总额比6月份的销售总额少2000元，请根据以下参考数据估算a的值．
（参考数据：6.3²=39.69，6.4²=40.91，6.5²=42.25，6.6²=43.56）

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

进入三月以来，重庆的气温渐渐升高，羽绒服进入了销售淡季．为此重庆某百货公司对某品牌的A款羽绒服进行了清仓大处理．已知A款羽绒服的销售价格y元与第x天（1≤x≤10，且为整数）之间的关系可用如下表表示：

时间（x天）	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
售价y（元/件）	550	500	450	400	350	300	300	300	300	300

在销售的前6天，A款羽绒服的销售数量z₁（件）与第x天的关系式为z₁=20x+40（1≤x≤6且为整数）；后4天（7≤x≤10，且为整数）的销售数量z₂件与第x天的关系如图所示
（1）请观察题中表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z₂与x之间的一次函数关系式．
（2）若A款羽绒服的进价为每件200元，该专柜共有5个员工，每位员工每天的工资为100元，该专柜每天所需的固定支出为1000元，请结合上述信息，求这10天内哪天的利润最大，并求出这个最大利润．
（3）在第（2）问的前提下，为了提高收益、减少库存，商场在第11天作出以下决定：第11-15天继续维持A款羽绒服的售价，结果每天的销售量均与第10天的持平，同时在第11-15天将B款羽绒服也作为促销商品，而且作为销售重点，已知B款羽绒服的进价仍为200元每件，销售价格比A款羽绒服取得最大利润当天的售价降低了a%，而每天销售量则比第10天A款羽绒服的销量提高了2a%，最后5天A、B两款羽绒服的总利润为27100元，请你参考以下数据，计算出a的值．
参考数据：2.5²=6.25，2.6²=6.76，2.7²=7.29，2.8²=7.84．

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科目：初中数学 来源： 题型：

下面是某同学一周内每天用水量的统计表：

星期	一	二	三	四	五	六	日
用水量（吨）	0.15	0.25	0.2	0.35	0.3	0.45	0.3

（1）请你根据表中提供的数据绘制一张适当的统计图；
（2）请观察统计图，你能从中获得哪些信息？（提供两条准确的信息即可）．

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