Question

如图，四边形OABC的顶点A（0，4），B（-2，4），C（-4，0）．过作B、C直线l，将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于D，与y轴交于点E．
探究：当直线l向左或向右平移时（包括直线l与BC直线重合），在直线AB上是否存在P，使△PDE为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：要解答本题，需要分情况讨论，当D、E、P分别为直角顶点时，根据等腰直角三角形的性质，利用三角形全等的性质可以求出P点的坐标，从而等我出结论．

解答：解：由A（0，4），B（-2，4）、C（-4，0）得：OA=4，OC=4，
直线BC：y=2x+8，
又∵BC∥DE，
∴设直线DE的解析式是：y=2x+b，
∴D（-

b

2

，0），E（0，b）．
∴OD=

1

2

b，OE=b．
①如图1、2，以点D为直角顶点，作PP₁⊥x轴，
在Rt△ODE中，OE=2OD，
可证Rt△ODE≌Rt△P₁PD，
∴OD=PP₁=4，DP₁=OE=8．
∴OP₁=12，
∴P（-12，4），P（-4，4）．




②以点E为直角顶点，如图3，
∴△AEP≌△ODE，
∴AE=OD，OE=AP，
∴AE=

1

2

OE，
∴OE=2OA=8，
∴AP=8，
∴P（8，4），
如图4，可以得出△PAE≌△EOD，
∴AE=DO，PA=OE．
∴OE=2AE，
∵AE+OE=4，
∴AE=

4

3

，OE=

8

3

，
∴PA=

8

3

，
∴P（-

8

3

，4）．
以E为直角顶点，E在O点的下方不存在．


③以P为直角顶点，如图5，作PF⊥x轴于F，
∴易得△PAE≌△PFD，
∴PA=PF=4，
∴P（-4，4）；

如图6，作DH⊥AB于H，易得出：
△PHD≌△EAP，
∴HD=AP，AE=HP，
∴AE=8，AP=4，
∴P（4，4）．
综上所述，P点坐标为：
P₁（-12，4），P₂（-4，4），P₃（8，4），P₄（-

8

3

，4），P₅（4，4）．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答本题的关键是根据题意画出不同的辅助图形．