Question

如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90度．O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E．设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．
（1）∠BFG与∠BGF是否相等？为什么？
（2）求由DG、GE和弧ED所围成图形的面积．（阴影部分）

Answer 1

解：（1）∠BFG=∠BGF；理由如下：
连OD，
∵OD=OF（⊙O的半径），
∴∠ODF=∠OFD；
∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC；
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，∴OD∥GC，
∴∠BGF=∠ODF；
又∵∠BFG=∠OFD，
∴∠BFG=∠BGF．

（2）连OE，
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∵AO=BO=AB==3，
∴OD=BC=×6=3，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3-3；
从而CG=CB+BG=3+3；
∴S_阴影=S_△DCG-S_{正方形ODCE}+S_扇形ODE
=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=•3•（3+3）-（3²-π•3²）
=．
分析：（1）连接OD．根据切线的性质得到OD⊥AC，则OD∥BC；可得∠ODF=∠G，再结合对顶角相等和等边对等角得到∠BFG=∠BGF．
（2）阴影部分的面积=直角三角形CDG的面积-（正方形的面积-扇形ODE的面积）．根据等腰直角三角形的性质可求出有关边AB、OD的长，以及圆心角∠DOE的度数．进而可根据扇形的面积和直角三角形的面积求得阴影部分的面积．
点评：此题综合考查了切线的性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质及扇形的面积计算方法．