Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3动点P从点A出发，沿AC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动．过点P（不与点A、C重合）作EF⊥AC，交AB或BC于点E，交AD或DC于点F，以EF为边向右作正方形EFGH设点P的运动时间为t秒．

（1）①AC＝　 　．②当点F在AD上时，用含t的代数式直接表示线段PF的长　 　．

（2）当点F与点D重合时，求t的值．

（3）设方形EFGH的周长为l，求l与t之间的函数关系式．

（4）直接写出对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值．

Answer 1

【答案】（1）①15；②8t；（2）t＝；（3）①当0＜t≤时，l＝40t；②当＜t≤3时，l＝30；③当3＜t＜时，l＝﹣40t+150；（4）t的值为或．

【解析】

（1）①由矩形的性质和勾股定理即可得出结果；

②由矩形的性质得出∠D＝90°，AD＝BC＝，CD＝AB＝，证明△APF∽△ADC，得出，即可得出结果；

（2）当点F与点D重合时，证明△APD∽△ADC，得出，即可得出结果；

（3）分情况讨论：

①当0＜t≤时，由（1）②得：PF＝8t，同理：PE＝2t，得出EF＝10t，即可得出结果；

②当＜t≤3时，EF＝10t＝，即可得出结果；

③当3＜t＜时，同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，得出，得出PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），求出EF＝PF+PE＝（15﹣4t）即可；

（4）由题意得出PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，①PE：PF＝1：2时，得出PF＝EF＝5，同理可证：△CPF∽△CDA，得出，即可得出结果；

②PF：PE＝1：2时，PF＝EF＝，则（15﹣4t）＝，解得：t＝即可．

解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∴；

故答案为：15；

②∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝6，

∵EF⊥AC，

∴∠APF＝90°＝∠D，

∵∠PAF＝∠DAC，

∴△APF∽△ADC，

∴，即，

解得：PF＝8t；

故答案为：8t；

（2）当点F与点D重合时，如图1所示：

∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，

∴△APD∽△ADC，

∴，即，

解得：t＝；

（3）分情况讨论：

①当0＜t≤时，如图2所示：

由（1）②得：PF＝8t，

同理：PE＝2t，

∴EF＝10t，

∴l＝4（8t+2t）＝40t；

②当＜t≤3时，如图3所示：

EF＝10t＝，

l＝4×＝30．

③当3＜t＜时，如图4所示：

同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，

∴

即，

解得：PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），

∴EF＝PF+PE＝（15﹣4t），

∴l＝4×（15﹣4t）＝﹣40t+150；

（4）如图3所示：对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时，

则PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，

①PE：PF＝1：2时，

∵EF＝，

∴PF＝EF＝5，

同理可证：△CPF∽△CDA，

∴，即，

解得：PF＝（15﹣4t），

∴（15﹣4t）＝5，

解得：t＝；

②PF：PE＝1：2时，PF＝EF＝，

则（15﹣4t）＝，

解得：t＝；

综上所述，对角线AC所在的直线将正方形EFGH分成两部分图形的面积比为1：2时t的值为或．