Question

【题目】如图，在直角坐标系中，点的坐标是，抛物线经过原点和点，已知正方形的三个顶点为，，．

（1）若当时，求，，并写出抛物线对称轴及的最大值；

（2）求证：抛物线的顶点在函数的图象上；

（3）若抛物线与直线交于点，求为何值时，的面积为1；

（4）若抛物线经过正方形区域（含边界），请直接写出的取值范围．

（参考公式：的顶点坐标是．

Answer 1

【答案】（1），，对称轴为直线，y最大值为4；（2）见解析；（3）当n的值为或1时，的面积为1；（4）

【解析】

（1）解：当时，则，

∵抛物线的经过原点O和点P，

∴，解得，

∴抛物线解析式为，

∴抛物线的对称轴为直线，

∵，

∴当时，y有最大值为4；

（2）证明：把O、P的坐标代入抛物线解析式可得，

解得，

∴抛物线解析式为，

∴抛物线顶点坐标为，

在中，当时，，

∴抛物线的顶点在函数的图象上；

（3）解：在中，当时，，

∴点N的坐标为，

∴N到x轴的距离为，

∵，

∴，

∴，

当的面积为1时，则有，

当时，N、P重合，不成立，

当时，则，

解得或 （此时n小于2，舍去），

当时，则，解得，

综上可知，当n的值为或1时，的面积为1；

（4）解：.

【解法提示】∵抛物线解析式为，

∴当过点时，代入可得，解得，

同理，当抛物线过点B时可求得，

当抛物线过点C时可求得，

当抛物线过点D时可求得，

∴n的取值范围为.