Question

已知矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E是DC上一点，连AE并延长交BC的延长线于点F，正方形CGHM的顶点G、H、M分别在△ECF的三边上．
（1）当点E为DC中点时，求正方形CGHM的边长a₁；
（2）当DE=

1

3

DC时，求正方形CGHM的边长a₂；
（3）当DE=

1

2

DC、DE=

1

3

DC、DE=

1

4

DC、…、DE=

1

n+1

DC时，正方形CGHM的边长分别记为a₁、a₂、a₃、…、a_n，则a_n=

 

．（直接写出结果）

Answer 1

分析：易得△HGE∽△ADE，有GH：AD=GE：DE，EG=CD-GH-DE，故可求得GH．

解答：解：∵GH∥AD，
∴△HGE∽△ADE．
∴GH：AD=GE：DE．
把EG=CD-GH-DE，CD=4，AD=8，DE=

1

n+1

DC代入上式，解得，GH=

8n

2n+3

．
∴（1）当n=1时，有a₁=GH=

8

5

；
∴（2）当n=2时，有a₂=GH=

16

7

；
∴（3）a_n=GH=

8n

2n+3

．

点评：本题利用了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质求解．