Question

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）设CE的长为m，用含m的代数式表示AC+BF．

Answer 1

分析：（1）根据ASA证△ABD≌△CFD，推出BD=DF，求出∠AFE=∠BFD=45°，根据AD=DC求出∠DAC=∠ACD=45°，求出∠AEF=90°，根据垂直定义推出即可；
（2）求出BE=CE=m，AF=EF，推出AC+BF=CE+BE=2CE，代入求出即可．

解答：（1）证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△CFD中

∠BAD=∠FCD AD=DC ∠ADB=∠CDF

∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD=DF，
∴∠FBD=∠BFD=45°，
∴∠AFE=∠BFD=45°，
又∵AD=DC，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠AEF=90°，
∴BE⊥AC．

（2）解：∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m，
∴BE=CE=m
又∵∠AFE=∠FAE=45°，
∴AE=FE，
∴AC+BF
=CE+AE+BF
=CE+EF+BF
=CE+BE
=CE+CE
=2m．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直定义等知识点的综合运用．