Question

如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．

（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）AB=，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）直线AD与⊙O相切。理由如下：
如图，连接OA，

∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°。
又∵∠D=30°，∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°。
∴OA⊥AD。
∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线。
（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△ACO是等边三角形。
∴∠ACO=60°，AC=OA。∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°。∴OC⊥AB，
又∵OC是⊙O的半径，∴AE=AB=。
在Rt△ACE中，，∴⊙O的半径为6。

试题分析：（1）连接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠OAD，根据切线判定推出即可。
（2）求出∠AEC=90°，根据垂径定理求出AE，根据锐角三角函数的定义即可求出AC，根据等边三角形的性质推出即可。