Question

如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≦3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

Answer 1

解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．
将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．∴y=﹣x²+2x+3．则点B（1，4）．
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE==3．
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．
∵AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．
（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P₁在x轴上，此时P₁与O重合；由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，
即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件，
因此 O点是符合条件的P₁点，坐标为（0，0）．
②DE为短直角边时，P₂在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
则∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=；
而DE==，则DP₂=DE×sin∠DP2E=×=10，OP₂=DP₂﹣OD=9
即：P₂（9，0）；
③DE为长直角边时，点P₃在y轴上；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=；
则EP₃=DE×cos∠DEP₃=×=，OP₃=EP₃﹣OE=；
综上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，﹣）．
（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得解得
∴y=﹣2x+6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，
当y=3时，得x=，∴F（，3）．
情况一：如图2，当0＜t≦时，
设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G．则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHD∽△FHM，得，即．
解得HK=2t．∴S_阴=S_△MND﹣S_△GNA﹣S_△HAD=×3×3﹣（3﹣t）²﹣t×2t=﹣t²+3t．
情况二：如图3，当＜t≦3时，
设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．
即，解得IQ=2（3﹣t）．
∴S_阴=S_△IQA﹣S_△VQA=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）×2=（3﹣t）²=t²﹣3t+．
综上所述：s=．