Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．

(1)求证：AC平分∠FAB；

(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA=∠OAC与∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；

（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.

试题解析：(1)证明：连接OC.

∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°

∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，

∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA

∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.

∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB

(2)连接BC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.

又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴.

∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴

∴，∴⊙O的半径为．