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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四边形DEFG为矩形，DE=cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．将Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止移动，设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，Rt△ABC平移的时间为x （s）．
    （1）求边AC的长；
    （2）求y 与x 的函数关系式；
    （3）当Rt△ABC移动至重叠部分的面积为cm2时，将Rt△ABC沿边AB向上翻折，得到Rt△ABC′，请求出Rt△ABC′与矩形DEFG重叠部分的周长．
    （4）点P从点D出发，沿矩形DEFG的边DE、EF、FG运动到点G停止．其中点P在DE边上的速度为，在EF边上的速度为1cm/s，在FG边上的速度为．若点P与△ABC同时运动，请直接写出点P落在△ABC内部（不含边）时运动时间x的取值范围．

    【答案】分析：（1）在直角三角形ABC中，根据BC的长和∠A的与余切值即可求出AC的长；
    （2）本题要找出几个关键点：当C与B重合、A与D重合时，x=2．当B与F重合时，x=6；当C与F重合时，x=8；因此本题可分三种情况：
    ①当0＜x＜2时，此时重合部分是个直角三角形且与三角形ABC相似，可用它们的相似比求出重合部分的面积，
    ②当2≤x≤6时，重合部分是三角形ACB，因此其面积就是三角形ABC的面积，
    ③当6＜x＜8时，重合部分是个直角梯形，可参照①的思路进行求解；
    （3）可将y的值分别代入（2）的三种情况中，求出符合条件的x的值，然后用相似三角形和解直角三角形的相关知识进行求解即可；
    （4）当P开始运动时，一定在△ABC的外部，在（1）的情况，设在t秒时P在边AB上，BE=tcm，EM=2-2t，根据△ABC∽△MBE，求得t的值，当t大于这个值时，P在△ABC的内部，到P到达BC边上时，不满足条件，一直到P到达F点，再以后开始在△ABC的内部，直到P到达AB边上，根据相似三角形的性质求得此时t的值，即可确定．
    解答： 解：（1）AC=BC•cot∠A=2（cm）；

    （2）如图（1）当0＜x＜2时=（）2，
    ∴y=××2×2即y=x2；
    当2≤x≤6时y=S△ABC=2．
    如图（2）当6＜x＜8时，AB交FG于H，
    =（）2，
    ∴S△FHB=（x-6）2．
    ∴y=S△ABC-S△FHB=2-（x-6）2=-x2+6x-16．
    综上所述：y与x的函数关系式为y=；

    （3）当0＜x＜2时，x2=，
    解得：x=，
    如图（3）AB交DE于点M，AC′交DE于点N，
    则∠AMN=∠CAB=∠BAC′=30°，
    ∴MN=AN．
    ∵在Rt△MEB中，MB=2BE=2，
    ∴重叠部分的周长=MN+NC′+BM=AN+N′C+C′B+BM=AC′+BC′+BM=2+2+2=4+2（cm）．
    当6＜x＜8时，令y=，则2-（x-6）2=，
    则（x-6）2=1，
    解得：x1=7，x2=5（舍去）．
    如图（4）Rt△MFB中，FB═7-6=1，
    则MF=1×cot30°=，AM=MB=2，
    设MN=AN=a，则NG=，
    则+a+=2，
    解得：a=．
    故重叠部分周长=C△AMN=2a+AM=+2（cm）；

    （4）当P开始运动时，一定在△ABC的外部，在（1）的情况，设在t秒时P在边AB上，BE=tcm，EM=2-2t，
    根据△ABC∽△MBE，则，即=，
    解得：t=，
    当＜t＜1时，P一定在△ABC的内部；
    当t=1时，P在BC的中点上，且在EF段，P与△ABC运动的速度相同，因而在1≤t≤8时，P始终是BC的中点．
    当t=7秒时，P到达F点，再运动则一定在△ABC的内部，根据图（2），△ABC∽△MFB，
    则，即=，
    解得：t=．
    则8＜t＜8时，P在△ABC的内部．
    总之，＜t＜1或7＜t＜8时P在△ABC的内部．
    点评：本题主要考查了直角三角形和矩形的性质、图形的翻折变换、二次函数的应用等知识，要注意（2）（3）小题要分类讨论，不要漏解．
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    cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．
    （1）求AC的长度；
    （2）将Rt△ABC以每秒1 cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止移动，设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，请求出重叠面积y（cm2）与移动时间x（s）的函数关系式（时间不包括起始与终止时刻）；
    （3）在（2）的基础上，当Rt△ABC移动至重叠部分的面积y=
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    2
    		3
    时，将Rt△ABC沿边AB向上翻折，精英家教网并使点C与点C’重合，请求出翻折后Rt△ABC’与矩形DEFG重叠部分的周长．

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