Question

如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转点中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动．设OM＝x，ON＝y(y＞x≥0)，△AOM面积为S，若cosα、OA是方程2z²－5z＋2＝0的两个根．

(1)当∠AMN旋转(即∠OAM＝)时，求点N移动的距离；

(2)求证：AN²＝ON·MN；

(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：解方程2z2－5z＋2＝0得：z1＝，z2＝2 　　∵α为锐角，∴OA＝2，cosα＝ 　　∴α＝即　　∠POQ＝∠MAN＝ 　　∴初始状态时，△AON为等边三角形 　　∴ON＝OA＝2 　　如图，当AM旋转到时，点N移动到 　　∵＝，∠POQ＝＝ 　　∴＝ 　　在中，＝2AO＝2×2＝4 　　∴＝－ON＝4－2＝2 　　∴点N移动的距离为2 　　(2)在△OAN和△AMN中，∠AON＝∠MAN＝，∠ONA＝∠ANM 　　∴∠OAN∽△AMN 　　∴＝即AN2＝ON·MN 　　(3)∵MN＝ON－OM＝y－x 　　∴AN2＝ON·MN＝y(y－x)＝y2－xy 　　过A点作AD⊥OP，垂足为D 　　在Rt△OAD中，OD＝OA·＝2×＝1 　　AD＝OA·＝ 　　∴DN＝ON－OD＝y－1 　　在Rt△AND中，AN2＝AD2＋DN2＝()2＋(y－1)2＝y2－2y＋4 　　∴y2－xy＝y2－2y＋4 　　整理，得y＝ 　　∵y＞0∴2－x＞0，即x＜2 　　又∵x≥0∴x的取值范围是：0≤x＜2 　　(4)在△OAM中，OM边上的高AD为 　　∴S＝·OM·AD＝·x·＝x 　　∵S是x的正比例函数，且比例系数＞0， 　　∴0≤S＜×2，即0≤S＜