Question

【题目】已知正方形ABCD的边长为2，中心为M，⊙O的半径为r，圆心O在射线BD上运动，⊙O与边CD仅有一个公共点E.

（1）如图1，若圆心O在线段MD上，点M在⊙O上，OM=DE，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，⊙O与边AD交于点F，连接MF，过点M作MF的垂线与边CD交于点G，若，设点O与点M之间的距离为,EG=,当时，求的函数解析式.

Answer 1

【答案】（1）相切，证明详见解析；（2）.

【解析】

（1）过O作OF⊥AD于F，连接OE,可证△ODF≌△ODE，可得OF=OE,根据相切判定即可得出：AD与相切；

（2）连接MC，可证，可得DF=CG，过点E作EP⊥BD于P，过点F作FH⊥BD于H设DP=a，DH=b，由于△DHF与△DPE都是等腰直角三角形，设EP=DP=a，FH=DH=b,利用勾股定理：可列出方程组解得a=b，可得 ， .由于 可得，由 可得OD=a， 由OD=OM-DM，可得， 代入2DF+y=2可得，整理得y与x的函数解析式,由DF≤1， EG≥0，可得x的取值范围，即可求解问题.

解：（1）直线AD与⊙O相切，理由如下：

过O作OF⊥AD于F，连接OE

∴∠OFD=90°

在正方形ABCD中，BD平分∠ADE，∠ADE=90°

∴∠FDO=∠EDO=45°

∵与CD仅有一个公共点E

∴CD与相切

∴OE⊥DC，OE为半径

∴∠OED=90°

又∵OD=OD

∴△ODF≌△ODE

∴OF=OE

∵OF⊥AD、OF=OE

∴AD与相切

（2）连接MC

在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠ADB =45°

∵∠BCD=90°，M为正方形的中心

∴MC=MD=，∠ADB=∠DCM=45°

∵FM⊥MG，即∠FMG=90°

且在正方形ABCD中，∠DMC=90°

∴∠FMD+∠DMG=∠DMG+∠CMG

∴∠FMD=∠CMG

∴

∴DF=CG

过点E作EP⊥BD于P，过点F作FH⊥BD于H

设DP=a，DH=b

∵∠FDM=∠EDM=45°

∴△DHF与△DPE都是等腰直角三角形

∴EP=DP=a，FH=DH=b

∵ ，且由（1）得

∴点O在正方形ABCD外

∴OP=OD+DP，OH=OD+DH

在Rt△OPE与Rt△OHF中

得：（a-b）(OD+a+b)=0

∴a-b=0或OD+a+b=0

∵OD+a+b>0

∴a-b=0

∴a=b

即点P与点H重合，也即EF⊥BD，垂足为P（或H）

∵DP=a，DH=b

∵在Rt△DPE中，

在Rt△DHF中，

∴DF=DE

∵CD=DE+EG+CG=2，即2DF+EG=2

∴2DF+y=2

∵在Rt△DPF中， ，且

∴

在Rt△OPE与Rt△OHF中

∴

∴OD+a=2a

∴OD=a

又因为 OD=OM-DM，即

∴

又因为 2DF+y=2

∴

∴

∴

∵DF≤1，且2DF+EG=2

∴EG≥0，即y≥0

∴

∴

∴y与x的函数解析式为