Question

（2010•东阳市）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4=7）
（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取=5）

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意代入x的值可得抛物线的表达式．
（2）令y=0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位可得
2=-（x-6）²解得x的值即可知道CD、BD．
解答：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时，
抛物线的表达式为y=a（x-6）²+4．（1分）
由已知：当x=0时y=1，
即1=36a+4，
∴a=-（2分）
∴表达式为y=-（x-6）²+4，（3分）
（或y=-x²+x+1）．

（2）令y=0，-（x-6）²+4=0，
∴（x-6）²=48．
x₁=4+6≈13，x₂=-4+6＜0（舍去）．（2分）
∴足球第一次落地距守门员约13米．（3分）

（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD
根据题意：CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位）
∴2=-（x-6）²+4解得x₁=6-2，x₂=6+2（2分）
∴CD=|x₁-x₂|=4≈10（3分）
∴BD=13-6+10=17（米）．（4分）
解法二：令-（x-6）²+4=0
解得x₁=6-4（舍），x₂=6+4≈13．∴点C坐标为（13，0）．（1分）
设抛物线CND为y=-（x-k）²+2（2分）
将C点坐标代入得：
-（13-k）²+2=0
解得：k₁=13-2（舍去），k₂=6+4+2≈6+7+5=18（3分）
令y=0，0=-（x-18）²+2，x₁=18-2（舍去），x₂=18+2≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
解法三：由解法二知，k=18，
所以CD=2（18-13）=10，
所以BD=（13-6）+10=17．
答：他应再向前跑17米．（4分）
点评：这是一道比较新颖的二次函数应用问题，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．