Question

如图，直线y=-

3

4

x+3交x轴于点A，交y轴于点B，第一象限内的点P（a，b）是经过点B的直线n上的一点，过点P作PD⊥y轴于点D，连结PA．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若△ABO与△BDP全等，试求直线n的函数解析式；
（3）将△ABP沿直线m对折，点P恰好与点O重合，试求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）对于直线m，令x与y分别为0求出对应y与x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）分两种情况考虑：当△BDP≌△AOB时，BD=AO=4，DP=BO=3，由OB+BD求出OD的长，得到P的坐标，设直线n为y=kx+b，将B与P坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可求出此时直线n解析式；当△PDB≌△AOB时，BD=OB=3，PD=OA=4，由OB+BD求出OD的长，求出P的坐标，设直线n为y=mx+n，将B与P代入得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，即可确定出直线n的解析式；
（3）过O与P作直线OP，与AB交于点Q，将△ABP沿直线m对折，点P恰好与点O重合时，△AOB≌△APB，可得出BO=BP，OA=PA，进而确定出AB垂直平分线段OP，由直线AB的斜率求出直线OP的斜率，求出直线OP的解析式，与直线AB解析式联立求出Q的坐标，由Q为线段OP的中点，利用中点坐标公式即可求出P的坐标．

解答：解：（1）对于直线y=-

3

4

x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，3）；
（2）当△BDP≌△AOB时，BD=AO=4，DP=BO=3，
∴OD=OB+BD=3+4=7，
∴P（3，7），
设直线n为y=kx+b，将B与P坐标代入得：

b=3 3k+b=7

，
解得：

k= 4 3 b=3

，
此时直线n解析式为y=

4

3

x+3；
当△PDB≌△AOB时，BD=OB=3，PD=OA=4，
∴OB+BD=3+3=6，
∴P（4，6），
设直线n为y=mx+n，将B与P代入得：

b=3 4k+b=6

，
解得：

k= 3 4 b=3

，
此时直线n解析式为y=

3

4

x+3；
（3）过O与P作直线OP，与AB交于点Q，
将△ABP沿直线m对折，点P恰好与点O重合时，△AOB≌△APB，
∴BO=BP，OA=PA，
∴直线AB垂直平分线段OP，
∵直线AB解析式为y=-

3

4

x+3，斜率为-

3

4

，
∴直线OP斜率为

4

3

，即直线OP解析式为y=

4

3

x，
联立两函数解析式得：

y= 4 3 x y=- 3 4 x+3

，
解得：

x= 36 25 y= 48 25

，
∴Q（

36

25

，

48

25

），
∵Q为线段OP的中点，
∴P（

72

25

，

96

25

）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，折叠的性质，以及线段中点坐标公式，是一道中档题．