Question

如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）。已知E、F在ＡＢ边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).

（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？S最大值是多少？

Answer 1

（1）432cm³；（2）当x=8时，S取得最大值384cm².

试题分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；
（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可.
试题解析：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，
∴x+2x+x=24，解得：x="6." 则 a=6.
∴V=a³=（6）³=432（cm³）.
（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=x，，
∴S=4ah+a²=.
∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm².