Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）若向下平移抛物线，使顶点落在轴上，原来的抛物线上的点平移后的对应点为．若，求点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点使的面积是面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），顶点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或或．

【解析】

（1）把A，B两点坐标分别代入直线中求出m，n值，可得A（2，0），B（-2，-4），代入求出a，b的值，可得抛物线解析式，通过配方可得顶点D的坐标；

（2）先求出图象向下平移的距离，再设点的坐标为，可得点的坐标为，根据，轴可得点与点关于轴对称，列出方程求解即可；

（3）首先求出直线y=x-2与y轴的交点E的坐标，抛物线与y轴的交点C的坐标，得O是CE的中点，过点作于点，连接，易证要使的面积是面积的一半，则点在过点且平行于直线的直线上.因此，过点作交抛物线于点，联立方程组求解即可；同理，在直线AB的下方也存在两点，方法同上.

将点代入直线中，

得.

点的坐标为

将点代入直线，

得.

点的坐标为.

把点代入抛物线中，

得

解得

抛物线的解析式为.

.

顶点的坐标为

设点的坐标为

向下平移后点落在轴上.

抛物线向下平移了个单位长度，

则点的坐标为

，且轴.

点与点关于轴对称

，

即

点的坐标为

存在，设直线与轴交于点.

将代入中，

得.

点的坐标为

将代入中，

得

点的坐标为

即点是线段的中点.

过点作于点，连接，如解图所示.

∵OC=2，OA=2，

∴CA=

∵OE=2

∴AE=，CE=4

∵

∴CA2+AE2=OE2

∴

且

要使的面积是面积的一半，

则点在过点且平行于直线的直线上.

点在抛物线上，

点为直线与抛物线的交点.

过点作交抛物线于点，如解图所示，

易得直线的解析式为.

联立

得，

解得

作点关于点的对称点，

过点作交抛物线于点，如解图所示，

则点的坐标为，

易得直线的解析式为.

同理，可知

综上所述，点的坐标为或或．