Question

如图，?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若BG=6，AG=8，AB=10，求证：四边形DEBF是菱形．

Answer 1

分析：（1）由?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，易证得AB∥CD，BE=DF，则可得四边形DEBF是平行四边形，则可得DE∥BF；
（2）由AG∥DB，易得四边形AGBD是平行四边形，由BG=6，AG=8，AB=10，可得∠G=90°，则可得∠ADB=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DE=BE，即可得四边形DEBF是菱形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=

1

2

CD，BE=

1

2

AB，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵BG=6，AG=8，AB=10，
∴BG²+AG²=AB²，
∴∠G=90°，
∵AG∥DB，AD∥BC，
∴四边形AGBD是平行四边形，
∴∠ADB=∠G=90°，
∵E为边AB的中点，
∴DE=BE=

1

2

AB，
∴?DEBF是菱形．

点评：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．