Question

【题目】在数学拓展课上，老师让同学们探讨特殊四边形的做法：

如图，先作线段，作射线（为锐角），过作射线平行于，再作和的平分线分别交和于点和，连接，则四边形为菱形；

（1）你认为该作法正确吗？请说明理由.

（2）若，并且四边形的面积为，在上取一点，使得.请问图中存在这样的点吗？若存在，则求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）作法正确（2）或

【解析】

（1）根据作法可以推出，又因为，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，因此作法正确；

（2）作，由面积公式可求出,由菱形的性质可得AD=AB=4，用勾股定理可得，由锐角三角函数得，所以是正三角形.再根据菱形对角线互相垂直的性质，利用勾股定理解得或.

（1）作法正确.理由如下：

∵

∴

∵平分，平分

∴

∴

∴

又∵

∴四边形是平行四边形

∵

∴四边形是菱形.

故作法正确.

（2）存在.

如图，作

∵，

∴ 且

∴由勾股定理得

∴由锐角三角函数得

∴是正三角形

∴

∵ ∴

∴或