Question

【题目】已知抛物线的顶点坐标为且经过点动直线的解析式为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线向上平移一个单位得到新的抛物线，过点的直线交抛物线于两点(点位于点的左边)，动直线过点，与抛物线的另外一个交点为点求证：直线恒过一个定点；

（3）已知点，且点在动直线上，若是以为顶角的等腰三角形，这样的等腰三角形有且只存在一个，请求出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．

【解析】

（1）先根据顶点坐标可设其解析式的顶点式，再将点代入求解即可；

（2）先根据二次函数图象的平移得到抛物线的解析式，设点M的坐标为，分别求出直线MN、动直线的解析式，然后分别联立两个一次函数与抛物线的解析式，求出点P、N的坐标，最后利用待定系数法求出直线PN的解析式，由此即可得证；

（3）设点C的坐标为，先根据两点之间的距离公式求出AB、BC的长，再根据等腰三角形的定义得出，从而可得一个关于的一元二次方程，然后利用根的判别式求解即可．

（1）抛物线的顶点坐标为

可设抛物线的解析式的顶点式为

将点代入得：，解得

故抛物线的解析式为；

（2）由题意得：抛物线的解析式为，即

设点M的坐标为

设直线MN的解析式为

将点，代入得，解得

则直线MN的解析式为

联立

设点

则是关于x的一元二次方程的两根

由根与系数的关系得

解得

将代入抛物线的解析式得：

即

将点代入得，解得

则动直线的解析式为

联立

设点

则是关于x的一元二次方程的两根

由根与系数的关系得

解得

将代入抛物线的解析式得：

即

设直线PN的解析式为

将代入得：

将代入得：

解得

则直线PN的解析式为

由此可知，当时，

即无论m取何值，直线PN恒过定点；

（3）设点C的坐标为

，

若是以为顶角的等腰三角形，则，从而有

即

整理得

因为这样的等腰三角形有且只存在一个

所以关于的一元二次方程有两个相等的实数根

则此方程的根的判别式

解得或．