Question

如图（a），AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若直径AB=4，AD=3，试求∠BAC的度数；
（3）若把直线EF向上平移，如图（b），EF交⊙O于G、C两点，若题中的其他条件不变，这时还有与∠DAC相等的角吗？如果有请直接指出是哪一个，如果没有请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连OC，构建平行线OC∥AD．然后由两直线平行，内错角相等推知∠OCA=∠DAC，再根据等腰三角形OAC两个底角相等的性质知，∠BAC=∠OCA，所以根据等量代换易证明：∠DAC=∠BAC；
（2）连BC，构建相似三角形△ADC∽△ACB，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC=2

3

，最后在Rt△ABC中，利用余弦三角函数的定义求得∠BAC的度数；
（3）根据（2）的思路，可以直接写出答案．

解答：证明：（1）连OC，
则OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA           （1分）
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF                （2分）
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD                        （3分）
∴∠OCA=∠DAC                          （4分）
∴∠DAC=∠BAC                          （5分）

（2）连BC，则∠ACB=∠ADC=90°        （6分）
由（1）知∠DAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB                      （7分）
∴AC²=AD•AB=3×4=12
∴AC=2

3

   （8分）
在Rt△ABC中，cos∠BAC=

AC

AB

=

2 3

4

=

3

2

（9分）
∴∠BAC=30°                             （10分）

（3）∠BAG=∠DAC，理由如下：
证法（一）：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，∠B+∠BAC=90°，
∵∠AGD+∠GAD=90°，
又∵∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD；
即∠BAG+∠GAC=∠GAC+∠DAC，
∴∠BAG=∠DAC．                （12分）
证法（二）：连接BG
∵∠ACD是⊙O内接四边形ACGB的外角，
∴∠ACD=∠ABG（圆内接四边形的外角等于内对角），
∵AB为⊙O直径，
∴∠AGB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BAG=90°-∠ABG（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠CAD=90°-∠ACD=90°-∠ABG
∴∠BAG=∠CAD（等量代换）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．