Question

如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△EFG的直角边EF的长均为4cm，FG=8cm，AB与FG在同一条直线l上、开始时点F与点B重合，让Rt△EFG以每秒1cm速度在直线l上从右往左移动，直至点G与点B重合为止．设x秒时Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积记为ycm²．
（1）当x=2秒时，求y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x=2时，FB=2，根据FG的长可求出BG的值，利用△ECH∽△GBH所得比例线段即可求得BH的长，由于阴影部分是个直角梯形，根据梯形的面积公式即可求解．
（2）此题要根据F点的不位置分情况讨论，当F、A重合时，x=4，那么可分两种情况：
①0＜x≤4时，此种情况与（1）题相同，可按照（1）题的方法，先求得BH的值，然后按梯形的面积公式求解；
②4＜x≤8时，重合部分仍是直角梯形，只不过需要分两步求出AK、BH的长，方法同上．

解答：解：（1）当x=2时，如图，
∵△ECH∽△GBH，
∴

EC

BG

=

2

6

=

CH

BH

=

4-BH

BH

，∴BH=3（2分）
∴y=

(3+4)×2

2

=7．（2分）（只要求得y=7可得4分）

（2）同理当0≤x≤4时，

EC

BG

=

x

8-x

=

CH

BH

=

4-BH

BH

，
∴BH=

8-x

2

，（1分）
∴y=

( 8-x 2 +4)x

2

=-

1

4

x2+4x（0≤x≤4）；（2分）
当4＜x≤8时，如图，
仍有BH=

8-x

2

，
且

KA

EF

=

AG

FG

?

KA

4

=

12-x

8

?KA=

12-x

2

．（1分）
∴y=

( 8-x 2 + 12-x 2 )4

2

=20-2x（4＜x≤8）．（2分）
（各解析式（2分）、取值范围（1分）；不等号写≤或＜淡化要求，不扣分）

点评：此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及梯形面积的计算方法，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度适中．