Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点 E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线 PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，然后将点B的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
（2）作F关于x轴的对称点F′（0，-1），连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，四边形DFHG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、H的坐标；
（3）首先设M的坐标为（a，0），求得BD与DM的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得DM²=BD•MN，则可得到关于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，
∵点B的坐标为（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）存在．
抛物线的对称轴方程为：x=1，
∵点E的横坐标为2，
∴y=-4+4+3=3，
∴点E（2，3），
∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，
∴

-k+b=0 2k+b=3

，
∴

k=1 b=1

，
∴直线AE的解析式为：y=x+1，
∴点F（0，1），
∵D（0，3），
∴D与E关于x=1对称，
作F关于x轴的对称点F′（0，-1），
连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y=mx+n，
∴

n=-1 2m+n=3

，
解得：

m=2 n=-1

，
∴直线EF′的解析式为：y=2x-1，
∴当y=0时，2x-1=0，得x=

1

2

，
即H（

1

2

，0），
当x=1时，y=1，
∴G（1，1）；
∴DF=2，FH=F′H=

( 1 2 )2+12

=

5

2

，DG=

22+12

=

5

，
∴使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+

5

2

+

5

2

+

5

=2+2

5

；

（3）存在．
∵BD=

32+32

=3

2

，
设M（c，0），
∵MN∥BD，
∴

MN

BD

=

AM

AB

，
即

MN

3 2

=

1+c

4

，
∴MN=

3 2

4

（1+c），DM=

32+c2

，
要使△DNM∽△BMD，
需

DM

BD

=

MN

DM

，即DM²=BD•MN，
可得：9+c²=3

2

×

3 2

4

（1+c），
解得：c=

3

2

或c=3（舍去）．
当x=

3

2

时，y=-（

3

2

-1）²+4=

15

4

．
∴存在，点T的坐标为（

3

2

，

15

4

）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．