Question

【题目】如图所示，的直径为，弦为，的平分线交于E,且.

（1）求，，的长

（2）图中还有一条线段的长是否能确定，若能求出的长。

Answer 1

【答案】（1），;（2）

【解析】

（1）先根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．

（2）过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，设EF=EG=x，由三角形面积公式可求出x的值，及CE的值，根据△ADE∽△CBE，根据相似比可求出DE的长，进而求出CD的长．

（1）∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm
∴BC2=AB2-AC2=102-62=64
∴BC==8（cm）
又∵CD平分∠ACB，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD，
又∵在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2
∴AD2+BD2=102
∴AD=BD==5（cm）．
（2）过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFEG是正方形，

设EF=EG=x，

∴ACx+BCx=ACBC

∴×6x+×8×x=×6×8

∴x=，

∴CE= x=，

∵∠DAB=∠DCB，

∵△ADE∽△CBE

∴DE:BE=AE:CE=AD:BC

∴DE:BE=AE: =5:8

∴AE=,BE=ABAE=10=

∴DE=

∴CD=CE+DE=+=7 (cm).