Question

【题目】如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为.

（1）求二次函数的表达式和直线的表达式；

（2）点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；

（3）在抛物线上存在异于、的点，使中边上的高为，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3），

【解析】

（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；

（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

解：（1）设二次函数的表达式为.

点在该二次函数的图象上，

，

解得，

∴，

该二次函数的表达式为.

因为点在轴上，所以可令，解得.

设直线的表达式为，

把代入得，解得，

直线BD的表达式为.

（2）如图：

设点的横坐标为，则，

∴.

∵，则当时，PM有最大值，

的最大值为.

（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H

设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3），

∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

当△BDQ中BD边上的高为时，即QH=HG=，

∴QG==4，

∴|-x2+3x|=4，

当-x2+3x=4时，△=9-16＜0，方程无实数根，

当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，

∴点的坐标为：，；

∴综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．