Question

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AB=，AE=2，EC=3，∠ADE=∠C
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）求证：∠CED=∠B．

Answer 1

证明：（1）如图，∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD；

（2）如图，∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5．
∵由（1）知，△ADE∽△ACD．
∴=，即=，
解得，AD=．
∵AB=，
∴AB=AD．
∴∠B=∠ADB，
由△ADE∽△ACD知，∠AED=∠ADC，
∴∠CED=∠ADB．
∴∠CED=∠B．
分析：（1）在△ADE与△ACD中，∠ADE=∠C，公共角∠A=∠A，则易证得结论；
（2）利用（1）中的相似三角形的对应角相等、对应边成比例得到∠AED=∠ADC，=，即AD=AB=．所以根据等角的邻补角相等，等边对等角以及等量代换证得∠CED=∠B．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件．