Question

如图，⊙O₁与⊙O₂交于A，B两点，C，D是⊙O₁上的两点，E，F是⊙O₂上的两点，BA的延长线、DC的延长线、FE的延长线都交于点P．
通过证明△PBC与△PDA相似，得到的比例式化成等积式为：PC•PD=PA•PB．
问题：（1）PE•PF=PA•PB成立吗？为什么？
（2）直接写出PC•PD与PE•PF的数量关系式．

Answer 1

解：（1）PE•PF=PA•PB成立．
理由如下：
在△PBE和△PFA中，
∵∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，
∴△PBE∽△PFA．
∴=．
∴PE•PF=PA•PB．

（2）PC•PD=PE•PF
理由：∵∠CPB=∠APD，∠PBC=∠PDA，
∴△BPC∽△DPA，
∴=，
∴PC•PD=PA•PB，
∵由（1）得：PE•PF=PA•PB，
∴PC•PD=PE•PF．
分析：（1）根据∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，得出△PBE∽△PFA，进而利用相似三角形的性质得出PE•PF=PA•PB；
（2）利用△PBC与△PDA相似，得到的比例式化成等积式为：PC•PD=PA•PB，再由（1）得出PE•PF=PA•PB，即可得出PC•PD=PE•PF．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据圆周角定里得出∠PBE=∠PFA是解题关键．