练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （1997•上海）已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数y=
    12x
    的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．
    （1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．
    （2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．
    （3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．
    （4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．
    分析：（1）设直线AB解析式为y=mx+n，将A与B坐标代入求出m与n的值，确定出直线AB解析式，根据F纵坐标为b，E横坐标为a，即可求出E与F的坐标；
    （2）当PM、PN与线段AB都相交时，如图1所示，三角形EOF的面积由三角形AOB的面积减去三角形AOE的面积减去三角形BOF的面积，求出即可；当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，同理求出三角形EOF的面积；
    （3）△AOF与△BOE一定相似，根据题意易知∠A=∠B，要证△AOF与△BOE相似，只证夹边对应成比例即可；
    （4）应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值，即解．
    解答：
    解：（1）根据题意设直线AB的解析式为y=mx+n，将A与B坐标代入得：
    m+n=0
    n=1
    ，
    解得：m=-1，n=1，
    ∴直线AB的解析式为y=-x+1，
    将x=a代入解析式得：y=1-a；将y=b代入解析式得：x=1-b，
    则点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），
    （2）当PM、PN与线段AB都相交时，如图1，
    ∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
    =
    1
    2
    ×1×1-
    1
    2
    ×1×（1-a）-
    1
    2
    ×1×（1-b）=
    a+b-1
    2
    ，
    当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，
    ∴S△EOF=S△FOA+S△AOE=
    1
    2
    ×1×b+
    1
    2
    ×1×（a-1）=
    a+b-1
    2
    ，
    ∴S△EOF=S△FOB+S△BOE=
    1
    2
    ×1×（b-1）+
    1
    2
    ×1×a=
    a+b-1
    2
    ，
    则S△EOF=
    a+b-1
    2
    ；
    （3）△AOF和△BEO一定相似．
    ∵如图1，OA=OB=1，
    ∴∠OAF=∠EBO，
    ∴BE=BA-AE=
    		2
    -
    		(1-a)2+(1-a)2
    =
    		2
    a，
    AF=BA-BF=
    		2
    -
    		(1-b)2+(1-b)2
    =
    		2
    b，
    ∵点P是函数y=
    1
    2x
    图象上任意一点，
    ∴b=
    1
    2a
    ，即2ab=1，
    ∴
    		2
    a×
    		2
    b=1，即AF•BE=OB•OA，
    ∴
    AF
    OB
    =
    OA
    BE
    ，
    ∴△AOF∽△BEO，
    ∵对图2，图3同理可证，
    ∴△AOF∽△BEO；
    （4）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
    由（3）知，△AOF∽△BEO，
    ∴∠AFO=∠BOE，
    如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
    而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
    ∴∠EOF=∠B=45°，
    对图2，图3同理可证，
    ∴∠EOF=45°．
    点评：此题属于反比例函数综合题，难度中等，涉及的知识有：反比例函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形性质，以及相似三角形性质判定，同学们只有熟练掌握这些知识点，才能正确的解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1997•上海）已知y-1与x成正比例，当x=2时，y=9，那么y与x之间的函数关系式是
    y=4x+1
    y=4x+1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1997•上海）已知x=
    		2
    ，函数y=
    2-x
    1-x
    的值是
    -
    		2
    -
    		2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1997•上海）已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是
    5或1
    5或1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1997•上海）已知一组数据：4、0、2、1、-2，分别计算这组数据的平均数、方差和标准差．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案