Question

如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试说明BE=EF=FC．

Answer 1

证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠OEF=∠ABC=60°，∠OFE=∠ACF=60°，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠EOF=60°，
∴△OEF为等边三角形，
∴OE=OF=EF，
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF，
∵OE∥AB，OF∥AC，
∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，
∴∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，
∴OE=BE，OF=CF，
∴BE=EF=FC．
分析：由题可证△OEF为等边三角形，从而得到∠EOF=60°，OE=OF=EF．又因为BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，所以∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF．所以OE∥AB，OF∥AC，根据两直线平行，内错角相等，得到∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，即∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF．根据等角对等边得OE=BE，OF=CF，所以BE=EF=FC．
点评：本题利用了等边三角形的性质和判定，两直线平行的性质，角的平分线的性质，等腰三角形的性质和判定．